অনুশীলনী: 1.2, দশম শ্ৰেণীৰ গণিত অধ্যায় - 1 বাস্তৱ সংখ্যা অনুশীলনী 1.2 ,দশম শ্ৰেণীৰ গণিত সমাধান,দশম শ্ৰেণীৰ গণিত || অনুশীলনী 1.2 প্ৰশ্ন 2 সমাধান || বাস্তৱ সংখ্যা
অনুশীলনী: 1.2
১) প্ৰতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদকবোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা:
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429
Soln:
(i) 140 ÷ 2 = 70
70 ÷ 2 = 35
35 ÷ 5 = 7
∴ 140 = 2*2*5*7 = 22 * 5 * 7
(ii) 156 ÷ 2 = 78
78 ÷ 2 = 39
39 ÷ 3 = 13
∴ 156 = 2*2*3*13 = 22*3*13
(iii) 3825 ÷ 3 = 1275
1275 ÷ 3 = 425
425 ÷ 5 = 85
85 ÷ 5 = 17
∴ 3825 = 3*3*5*5*17 = 32 * 52 * 17
(iv) 5005 ÷ 5 = 1001
1001 ÷ 7 = 143
143 ÷ 11 = 13
∴ 5005 = 5*7*11*13
২) তলৰ অখণ্ড সংখ্যা কেইযোৰৰ ল.সা.গু আৰু গ.সা.উ উলিওৱা । সত্যাপন কৰা যে ল.সা.গু * গ.সা.উ = সংখ্যা দুটাৰ গুণফল ।
(i) 26 আৰ 91 (ii) 510 আৰু 92 (iii) 336 আৰু 54
Soln:
(i) 26 ÷ 2 = 13
13 ÷ 1 = 13 [ এই শাৰীটো কেৱল বুজাৱলৈ হে দেখুওৱা হৈছে ]
আকৌ,
91 ÷ 7 = 13 [13 আৰু ভাগ কৰিৱ নোৱাৰি]
∴ 26 = 2*13
91 = 7*13
∴গ.সা.উ (26,91) = 13
ল.সা.গু (26,91) = 2*7*13 = 182
সত্যাপন:
ল.সা.গু * গ.সা.উ = 182*13 = 2366
সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল = 26*13 = 2366
∴ ল.সা.গু * গ.সা.উ = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল
(ii) 510 ÷ 2 = 255
255 ÷ 3 = 85
85 ÷ 5 = 17
আকৌ, 92 ÷ 2 = 46
46 ÷ 2 = 23
∴ 510 = 2*3*5*17
92 = 22*23
∴ গ.সা.উ (510,92)= 2
ল.সা.গু (510,92)= 22*3*5*17*23
= 23460
সত্যাপন:
ল.সা.গু * গ.সা.উ = 2*23460 = 46920
সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল = 510*92 = 46920
∴ ল.সা.গু*গ.সা.উ = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল
(iii) 336 ÷ 2 = 168
168 ÷ 2 = 84
84 ÷ 2 = 42
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7
আকৌ, 54 ÷ 2 = 27
27 ÷ 3 = 9
9 ÷ 3 = 3
∴ 336 = 24 × 3 × 7
54 = 2 × 33
∴ গ.সা.উ(336,54)= 2×3 = 6
ল.সা.গু (336,54) = 24×33×7 = 16×27×7 = 3024
সত্যাপন:
ল.সা.গু×গ.সা.উ = 3024×6 = 18144
সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল = 336×54 = 18144
∴ ল.সা.গু×গ.সা.উ = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল
৩) মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ ল.সা.গু আৰু গ.সা.উ উলিওৱা ।
(i) 12,15, আৰু 21 (ii) 17,23 আৰু 29 (iii) 8,9 আৰু 25
Soln:
(i) 12,15 আৰু 21
12= 2 * 2 * 3 = 22 * 3
15= 3 * 5
21 = 3 * 7
∴ গ.সা.উ (12,15,21) = 3
ল.সা.গু (12,15,21) = 22 * 3 * 5 * 7
= 420
(ii) 17,23 আৰু 29
গ.সা.উ (17,23,29) = 1
ল.সা.গু (17,23,29) = 17×23×29 = 11339
(iii) 8,9 আৰু 25
8 ÷ 2 = 4
4 ÷ 2 = 2
∴ 8 = 2×2×2 = 23
আকৌ,
9 ÷ 3 = 3
∴ 9 = 3×3 = 32
আকৌ,
25 ÷ 5 = 5
∴ 25 = 5×5 = 52
∴ গ.সা.উ (8,9,25) = 1
ল.সা.গু (8,9,25) = 23×32×52 = 1800
৪) দিয়া আছে গ.সা.উ. (306,657) = 9 । ল.সা.গু. (306,657) উলিওৱা ।
Soln: আমি জানো,
ল.সা.গু. = সংখ্যাদুটাৰ পূৰণফল / গ.সা.উ.
= 306 * 657 / 9
= 201042 / 9
= 22338
∴ ল.সা.গু (306,657) = 22338
৫) পৰীক্ষা কৰা, কোনোবা স্বাভাৱিক সংখ্যা n অৰ ক্ষেত্ৰত 6n সংখ্যাটো 0 অংকেৰে শেষ হ’ৱ পাৰেনে নাই ।
Soln: কোনো এটা সংখ্যা ‘0’ অংকেৰে শেষ হ’ৱলৈ হ’লে সংখ্যাটোৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 5 সংখ্যাটো মৌলিক উৎপাদক হিচাপে থাকিৱ লাগিৱ ।
কিন্তু, 6n = (2 * 3)n
ইয়াত 6n ৰ মৌলিক উৎপাদকীকৰণত 5 সংখ্যাটো মৌলিক উৎপাদক হিচাপে নাই ।
∴ 6n সংখ্যাটো [ n ∈ N ] ‘0’ অংকেৰে শৱষ হ’ৱ নোৱাৰে ।
৬) 7 * 11 * 13 + 13 আৰু 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 + 5 সংখ্যা দুটা কিয় যৌগিক সংখ্যা, ব্যাখ্যা কৰা।
Soln:
7 * 11 * 13 + 13
= 13 (77+1) [যোগ চিনৰ দুয়োফালৰ পৰা 13 common লোৱা হৈছে ]
= 13 * 78
∴ 7 * 11 * 13 + 13 এটা যৌগিক সংখ্যা । কাৰণ, ইয়াৰ 1 আৰু উক্ত সংখ্যাটোৰ বাহিৰেও অন্য উৎপাদক আছে ।
7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 + 5
= 5 (7*6*4*3*2*1 + 1) [যোগ চিনৰ দুয়োফালৰ পৰা 5 common লোৱা হৈছে ]
= 5 (1008 + 1)
= 5 * 1009
∴ 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 + 5 এটা যৌগিক সংখ্যা । কাৰণ, ইয়াৰ 1 আৰু উক্ত সংখ্যাটোৰ বাহিৰেও অন্য উৎপাদক আছে ।
৭) এখন খেল পথাৰৰ চাৰিওপিনে এটা বৃত্তকাৰ পথ । খেল পথাৰখন গাড়ীৰে এবাৰ ঘূৰিৱলৈ ছোনিয়াৰ 18 মিনিট লাগে, য’ত একেটা ঘূৰণতে ৰবিৰ লাগে 12 মিনিট । ধৰা তেওঁলোকে একেটা বিন্দুতে একে সময়তে আৰু একেটা দিশত যাত্ৰা আৰম্ভ কৰে । কিমান মিনিট পিছত তেওঁলোকে আকৌ আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ লাগিৱ?
Soln: বৃত্তকাৰ খেলপথাৰখন গাড়ীৰে এপাক ঘূৰিৱলৈ ছোনিয়াৰ লাগে = 18 মিনিট
আকৌ, ৰবিৰ লাগে = 12 মিনিট
∴ 18 আৰু 12 ৰ ল.সা.গু য়েই হ’ৱ নিৰ্ণেয় সময় ।
12 = 22 * 3
18 = 2 * 32
∴ ল.সা.গু. (12,18) = 22 * 32
= 4 * 9
= 36
∴ তেওঁলোকে 36 মিনিট পিছত আৰম্ভণিৰ বিন্দুটোত লগ-লাগিৱ ।
অনুশীলনী: 1.3
১) দেখুওৱা যে √5 অপৰিমেয় ।
Soln: যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ √5 = p ÷ q [য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ p = √5q
⇒ p2 = 5q2
ইয়াত 5q2, 5 ৰে বিভাজ্য ।
∴ p2, 5 ৰে বিভাজ্য ।
∴ p, 5 ৰে বিভাজ্য ।
আকৌ ধৰাহ’ল,
P = 5m, m এটা কোনোৱা অখণ্ড সংখ্যা ।
⇒ P2 = 25m2
⇒ 5q2 = 25m2 [∵ p2=5q2]
⇒ q2 = 5m2
ইয়াত 5m2, 5 ৰে বিভাজ্য ।
∴ q2, 5 ৰে বিভাজ্য ।
∴ q, 5 ৰে বিভাজ্য ।
দেখাগ’ল যে, p আৰু q ৰ 5 এটা সাধাৰণ উৎপাদক ।
কিন্তু আমি আৰম্ভণিতে p,q সহমৌলিক বুলি ধৰিছো । ইয়ে আমাৰ যুক্তিটোৰ বিৰুদ্ধাচৰণ কৰিছে।
গতিকে √5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয় । ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
২) দেখুওৱা যে 3+2√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
Soln: যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, 3+2√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ 3+2√5 = p ÷ q [য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ 2√5 = p/q – 3
⇒ 2√5 = (p-3q)/q
⇒ √5 = (p-3q)/2q
∵ p,q অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে (p-3q)/2q এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
কিন্তু আমি জানো যে, √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ বাওঁফাল = √5 = অপৰিমেয়
সোঁফাল = (p-3q)/2q = পৰিমেয়
অৰ্থাৎ, বাওঁফাল(অপৰিমেয়)=সোঁফাল(পৰিমেয়); এইটো কেতিয়াওঁ সম্ভৱ নহয় ।
গতিকে, 3+2√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয়, ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
৩) দেখুওৱা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয় :
(i) 1÷√2 (ii) 7√5 (iii) 6+√2
Soln:
(i)যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, 1÷√2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ 1÷√2 = p÷q [ য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ √2p = q
⇒ √2 = q/p
∵ p,q অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে p/q এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
কিন্তু আমি জানো, √2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
গতিকে, বাঁওফাল (অপৰিমেয়) = সোঁফাল (পৰিমেয়); এইটো সম্ভৱ নহয়
∴ আমি সিদ্ধান্তত উপনীত হ’লো যে, 1/√2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
(ii) যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, 7√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ 7√5 = p÷q [ য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ √5 = p/7q
∵ p,q অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে p/7q এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
কিন্তু আমি জানো √5 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
গতিকে, বাঁওফাল (অপৰিমেয়) = সোঁফাল (পৰিমেয়); এইটো কেতিয়াও সম্ভৱ নহয়
গতিকে, 7√5 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয়, ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
(iii) যদি সম্ভৱ ধৰাহ’ল, 6+√2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
∴ 6+√2 = p÷q [ য’ত p,q অখণ্ড সংখ্যা (q≠0) লগতে p,q সহমৌলিক ]
⇒ √2 = p/q – 6
⇒ √2 = (p-6q)/q
∵ p,q অখণ্ড সংখ্যা, গতিকে (p-6q)/q এটা পৰিমেয় সংখ্যা ।
কিন্তু আমি জানো √2 এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।
গতিকে, বাঁওফাল (অপৰিমেয়) = সোঁফাল (পৰিমেয়); এইটো কেতিয়াও সম্ভৱ নহয়
গতিকে, 6+√2 এটা পৰিমেয় সংখ্যা নহয়, ই এটা অপৰিমেয় সংখ্যা ।